มิติที่ 1½ Fractal กับมุมมองที่เกินกว่า 1 มิติมาอีกหน่อย
ในชีวิตประจำวัน เรามักจะคุ้นเคยกับ มิติที่ 0 คือจุด มิติที่ 1 คือเส้น มิติที่ 2 คือพื้นที่ และ มิติที่ 3 คือความเป็นรูปทรง บางคนอาจรู้จักเพิ่มเติมว่า มิติที่ 4 คือเวลา มิติที่ 5 คือแรงโน้มถ่วงและสนามแม่เหล็กไฟฟ้า มิติที่ 6 คือมิติเวลาที่สอง มิติที่ 8 คือมิติ Octonions มิติที่ 10 คือมิติแห่ง String theory อย่างไรก็ตาม ด้วยข้อจำกัดในการรับรู้ของมนุษย์ เราไม่อาจรับรู้ได้ถึงมิติในอันดับสูงๆ เพียงแต่สามารถพิสูจน์ได้ผ่านคณิตศาสตร์
ว่าแต่ มิติที่ 1½ เป็นอย่างไร มิติที่ 1½ สามารถอธิบายได้ผ่าน Fractal geometry ซึ่งก็คือรูปแบบที่เรียงต่อกัน แต่ด้วยขนาดที่ต่างกันไปอย่างไม่รู้จบ นักคณิตศาสตร์ชื่อ Benoit Mandelbrot ได้อธิบายในหนังสือของเขา “The Fractal Geometry of Nature” ในปี 1982 ว่า ก้อนเมฆก็ใช่ว่าจะเป็นทรงกลม ภูเขาก็ใช่ว่าจะเป็นทรงกรวย ชายฝั่งทะเลก็ไม่ได้เป็นส่วนโค้งอย่างที่เห็น มิติที่แท้จริงที่ของสิ่งต่างๆ ไม่ได้ดูลงตัวเป็นค่าง่ายๆ อย่างที่เห็นกัน หากแต่มันช่างหยาบกร้านนัก
ลักษณะของ Fractal geometry อาจจะสังเกตได้จาก รูปแบบการวางตัวของแม้น้ำ แนวชายฝั่งทะเล ลักษณะของฟ้าผ่า เป็นต้น แต่ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือเกล็ดหิมะ ดูผ่านๆ เราก็เห็นว่ามันมีกิ่งก้านที่งอกต่อจากกันออกมาเป็นรูปแบบเดียวกันเพียงไม่กี่กิ่ง หากแต่ดูให้ลึกลงไป ก็พบว่าแท้จริงแล้วมีหลายกิ่งเล็กๆ ที่งอกต่อออกมาอย่างไม่รู้จบ
ลักษณะของ Fractal geometry อาจจะสังเกตได้จาก รูปแบบการวางตัวของแม้น้ำ แนวชายฝั่งทะเล ลักษณะของฟ้าผ่า เป็นต้น แต่ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือเกล็ดหิมะ ดูผ่านๆ เราก็เห็นว่ามันมีกิ่งก้านที่งอกต่อจากกันออกมาเป็นรูปแบบเดียวกันเพียงไม่กี่กิ่ง หากแต่ดูให้ลึกลงไป ก็พบว่าแท้จริงแล้วมีหลายกิ่งเล็กๆ ที่งอกต่อออกมาอย่างไม่รู้จบ
คำถามสุด classic คือ ชายฝั่งทะเลของสหราชอาณาจักรยาวเท่าไหร่? หากจะให้ตอบแบบคนทั่วไปก็คือ ให้ไปเปิดดูในหนังสือแผนที่ทางด้านภูมิศาสตร์แล้วก็จะได้คำตอบ แต่หากจะให้ตอบด้วยความเป็นจริง ต้องถามกลับไปว่า “ใช้อะไรวัดหล่ะ?” ถ้าใช้ไม้บรรทัดวัดจากภาพถ่ายดาวเทียมก็ได้ค่าหนึ่ง ถ้าวัดจากภาพถ่ายดาวเทียมที่พิมพ์ออกมาแผ่นใหญ่ๆ หน่อย ก็ได้อีกค่าหนึ่ง ถ้าลงไปเดินรอบเกาะอังกฤษวัดด้วยตัวเอง โดยใช้ไม้เมตรก็ได้อีกค่าหนึ่ง หรือถ้าจะให้ใช้ micrometer มาวัดเม็ดทรายทีละเม็ดที่เรียงต่อกันรอบชายฝั่งก็ได้อีกค่าหนึ่ง และสิ่งที่น่าสนใจคือ ยิ่งวัดละเอียดเท่าไหร่ ค่าที่ได้ยิ่งมากขึ้นไปเรื่อยๆ นี่ถือเป็นตัวอย่างที่ใช้ในการอธิบายความมีอยู่ของ Fractal geometry
ในงานวิศวกรรม เราอาจเห็นได้จากความเรียบผิวของวัสดุ หากพิจารณาจากผลแห่งมิติที่ 1½ พบว่าผิวงานที่เรียบอย่างแท้จริงนั้น เป็นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ เพราะความเรียบที่เห็น แท้จริงแล้วมันยังมีสามเหลี่ยมเล็กๆ แตกแขนงออกจากพื้นผิวที่ดูเรียบ ออกไปอีกมากมาย สามารถพิสูจน์ได้จากการใช้ microscope กำลังสูง จะเห็นความไม่ต่อเนื่องของพื้นผิว เนื้อวัสดุ การเรียงตัวของผลึก dislocation การเรียงตัวของ atom ไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด จนไม่อาจรู้ได้ว่าความเรียบที่แท้จริงอยู่ที่ใด ว่ากันอีกนัยหนึ่งก็คือ ค่าที่วัดได้ไม่ว่าเป็นความเรียบผิว ขนาดชิ้นงาน ต่างๆ ล้วนแล้วแต่เป็นค่าประมาณทั้งสิ้น ซึ่งอธิบายด้วยหลักทางสถิติที่เรานิยมใช้กันบ่อยที่สุดก็คือ การหาค่าเฉลี่ย โดยมีจุดประสงค์เพื่อเฉลี่ยออกของผลแห่งความไม่ต่อเนื่องและ error ต่างๆ ที่เกิดขึ้น สำหรับใช้ประมาณค่าจริงที่ไม่มีวันรู้ได้ (และถ้าจะว่ากันตาม Fractal geometry ก็อาจจะกล่าวได้ว่า ค่าที่แท้จริงมักจะมากกว่าค่าที่ประมาณอยู่สักหน่อย) ในทางวิศวกรรมวัดละเอียด ข้อจำกัดของการวัดอาศัยค่าอยู่ 2 ค่า คือ resolution (ค่าที่น้อยที่สุดที่สามารถแยกแยะได้) และ delimitation (ค่าที่มากที่สุดที่ไม่สามารถแยกแยะได้) ดังนั้น หากมีใครซักคนมาถามว่า “วัตถุนี้ขนาดเท่าไหร่?” ต้องถามกลับไปว่า “ใช้เครื่องมือวัดอะไรหล่ะ?” เพราะโลกหยาบๆ ใบนี้มันยากที่จะเข้าใจได้ กับมิติพิศวงขาดๆ เกินๆ อย่างมิติที่ 1½ นี้แล
http://www.viboon.org/2009/08/28/%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88-1%C2%BD-fractal-%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%80/
Beyond space and time: Fractals, hyperspace and more
No comments:
Post a Comment